L'
image directe d'un
Sous-ensemble A de
X par une
Application f : X → Y est le sous-ensemble de
Y formé des éléments qui ont au moins un
Antécédent par
f d'un élément de
A :
f (A) = {f (x) / x ∈ A } ,
- ou f (A) = {y ∈ Y / ∃ a ∈ A, y = f (a)} .
Si A=X, alors f(X) est appelée l'image de (l'application)
f.
On se gardera bien de confondre l'image directe par f d'une partie de X, avec l'image par f d'un élément x de X.
Exemple : Considérons l'application f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d } , définie par
1 ↦ a, 2 ↦ c, 3 ↦ d
L'image directe de {2,3} par f est f({2,3})={c,d} tandis que l'image de f est {a,c,d}.
Propriétés élémentaires
- Pour toutes parties A1 et A2 de X,
f(A 1 ∪ A 2) = f (A 1 ) ∪ f (A 2 )
f(A 1 ∩ A 2) ⊂ f (A 1 ) ∩ f (A 2 )
L'inclusion dans l'autre sens est fausse en général. Considérons l'unique application f : {0,1} → {0} . L'image par f de toute partie non vide est le singleton {0} .
⇔ f injective.
- pour toute partie B de Y, f (f -1 (B)) ⊂ B.
∀ B ⊂ Y, f (f -1 (B)) = B ⇔ f surjective.
- pour toute partie A de X, A ⊂ f -1 (f (A))
∀ A ⊂ X, A = f -1 (f (A)) ⇔ f injective.
- Pour toute famille (A i) i ∈ I de parties de X,
| f | ( |
ᑎ
i ∈ I | A i | ) | ⊂ |
ᑎ
i ∈ I | f (A i ) |
- Pour toute famille (A i) i ∈ I de parties de X,
| f | ( |
ᑌ
i ∈ I | A i | ) | = |
ᑌ
i ∈ I | f (A i ) |
Voir aussi